Académicos de la UC y U. de Talca resuelven enigma matemático de más de 70 años

Un problema matemático que estaba abierto desde hace más de siete décadas fue resuelto, recientemente, por investigadores desde Chile. Se trata de un enigma en el área resolución de singularidades, en el que trabajó el célebre matemático John Nash, quien inspiró la película “Una mente brillante” (2001).

Los resultados de la investigación –de los académicos Federico Castillo, de la Universidad Católica; Maximiliano Leyton-Álvarez y Álvaro Liendo, de la Universidad de Talca; y el mexicano Daniel Duarte (UNAM Morelia)– fueron presentados en un artículo titulado “Nash Blowup fails to resolve singularities in dimensions four and higher”, que fue aceptado por la prestigiosa revista “Annals of Mathematics”, una de las publicaciones más importantes del mundo, reconocida por divulgar resultados del más alto nivel e impacto, en las distintas áreas de las matemáticas.

¿De qué se trata el problema?

“En términos generales, el tema puede ser descrito de la siguiente forma: hay figuras geométricas que son lisas, como una bola de billar; y otras que no lo son, como un cono de helado. Ser ‘liso’ significa que, en cada punto de la superficie, lo que está muy cerca se parece a un plano. No es plano -como tampoco lo es la Tierra-, pero la aproximación es lo suficientemente buena para que algunos argumentos tengan sentido (por ejemplo, orientar las calles de una ciudad con respecto a los ejes cardinales)”, explica Federico Castillo, académico de la Facultad de Matemáticas UC.

“En cambio, en la puntita del lápiz, ningún plano se le parece de cerca, y esa ‘protuberancia’ complica mucho las cosas cuando uno quiere hacer cálculos. Entonces, la idea general es ‘alisar’ una superficie no lisa: reemplazarla por otra que sea lisa, pero lo más parecida posible a la original. Ese es el problema central y da origen a toda un área de la geometría algebraica. Usualmente, se describen operaciones que, si bien no alisan completamente una superficie, la transforman en algo ‘más liso’. Lo difícil es definir de manera precisa qué significa ser liso”, agrega el investigador.

El matemático John Nash propuso una estrategia general ante este problema: aplicar repetidamente una operación llamada “modificación de Nash” para cualquier superficie, con la esperanza de que, después de un número grande, pero finito de pasos, el objeto se vuelva liso. La idea parecía prometedora, especialmente porque –en dimensión dos– el matemático Mark Spivakovsky demostró que, efectivamente, la operación alisa todo.

Sin embargo, la reciente investigación demostró que la idea propuesta por Nash no funciona en general, ya que en el caso particular de un objeto –en dimensión cuatro– la operación nunca logra alisar, sin importar cuántas veces se aplique.

La iniciativa de estudiar este problema surgió en un encuentro llamado “Agrega”, donde se invita a matemáticos a dedicar un día completo a contar sobre sus problemas de investigación. En una de estas reuniones, realizada en enero de 2024 en Talca, el profesor Daniel Duarte presentó el problema de estudiar las modificaciones de Nash para una familia de figuras muy especial. “La ventaja de esa familia es que puede describirse completamente en un computador, así que empezamos con algunos experimentos computacionales”, señala Castillo.

“Intentamos mostrar que las modificaciones de Nash alisaban esas figuras, pero nos topamos con un fenómeno extraño que aparecía en dimensión cuatro (en dimensión tres la pregunta sigue abierta). Tras una inspección cuidadosa, encontramos un objeto que pudimos verificar que ‘no se alisaba’ mediante las operaciones de Nash”, explica el profesor.

“Gran arrojo” y “esfuerzo colectivo”

El decano de la Facultad de Matemáticas UC, Eduardo Cerpa, dice que “es difícil exagerar al hablar de este logro, que implica hacer ciencia de primer nivel en nuestro país”. “Esta revista publica cerca de 40 papers al año, con un grado de selectividad que no existe en otras disciplinas”, apunta.

Sobre el trabajo, destaca que “es un esfuerzo colectivo” de los investigadores. “Mostrando un gran arrojo se embarcan en un problema muy difícil, tratando al principio de demostrar que un método propuesto por Nash para tratar con singularidades funciona. Con el tiempo se dan cuenta que hay obstáculos insalvables y que en realidad hay casos donde el método falla. Para llegar a esto usan métodos de geometría algebraica y combinatoria, aprovechando también experimentación computacional para entender mejor el problema”.

Enfatiza que “en Chile y en la UC existe un gran nivel matemático que requiere apoyo y financiamiento para seguir consolidándose. Esta es una prueba más del gran nivel de nuestra comunidad, que es reconocida internacionalmente”.